rational numbers là gì

Các số hữu tỉ (ℚ) được bao hàm trong những số thực (ℝ), trong những lúc bạn dạng thân ái bọn chúng bao hàm những số vẹn toàn (ℤ), cho tới lượt nó bao hàm những số ngẫu nhiên (ℕ)

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x rất có thể màn biểu diễn bên dưới dạng phân số , nhập bại liệt ab là những số vẹn toàn với b0.[1]

Tập phù hợp những số hữu tỉ[2], hoặc thường hay gọi là ngôi trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.[4] Tên Q của giao hội này được Giuseppe Peano dùng chuyến thứ nhất như thể chữ ghi chép tắt của quoziente, tức là tỷ trọng, và xuất hiện nay lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: rational numbers là gì

Khai triển thập phân của một số trong những hữu tỉ kết đôn đốc sau một số trong những hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí còn chính thức tái diễn một số trong những hữu hạn nằm trong mặt hàng những chữ số lặp cút tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết đôn đốc sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện mang lại một số trong những hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong các cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số vẹn toàn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko cần là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, eφ. Khai triển thập phân của một số trong những vô tỉ kéo dãn mãi tuy nhiên ko tái diễn. Vì giao hội những số hữu tỉ là điểm được và giao hội những số thực là ko điểm được nên đa số toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.[8]

Số hữu tỉ rất có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số vẹn toàn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối quan hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Lúc bại liệt biểu thị lớp tương tự của (p, q).[9]

Số hữu tỉ cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc tự tạo trở thành một ngôi trường nhập bại liệt đem chứa chấp những số vẹn toàn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường nào là đem chứa chấp những số vẹn toàn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là một trong những ngôi trường thành phần và một ngôi trường đem đặc thù là 0 nếu như và chỉ Lúc nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo nên trở thành một luyện con cái trù phú của những số thực. Các số thực rất có thể được thiết kế kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp hoàn thành xong, dùng chuỗi Cauchy, tách Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của giao hội Q nhắc đến thực tiễn rằng một số trong những hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số vẹn toàn. Tính kể từ hữu tỉ thỉnh thoảng Tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một trong những điểm đem toạ chừng hữu tỉ (tức là một trong những điểm đem toạ chừng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một trong những quỷ trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ rất có thể là một trong những nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy nhiên thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm tách lầm lẫn thân ái " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là một trong những biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Lúc những thông số của chính nó ko cần là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một lối cong hữu tỷ không phải là một trong những lối cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, tuy nhiên là một trong những lối cong rất có thể được thông số hóa vì thế những hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ vẹn toàn này tương tự động như kể từ vẹn toàn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ rất có thể được màn biểu diễn theo gót một cơ hội độc nhất bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập bại liệt ab là những số thành phần bên nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một số trong những hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó rất có thể có được bằng phương pháp phân chia ab mang lại ước cộng đồng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi lốt của tử số và khuôn số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số vẹn toàn n rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một số trong những hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Lúc và chỉ Lúc

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Lúc và chỉ Lúc [9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị khuôn số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Lúc và chỉ Lúc

Mặt không giống, nếu như một trong các nhị khuôn số là âm, thì trước tiên từng phân số đem khuôn số âm cần được fake trở thành dạng tương tự với khuôn số dương — bằng phương pháp thay đổi lốt của tất cả tử số và khuôn số của chính nó.[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc bd là những số thành phần bên nhau.[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc bd là những số thành phần bên nhau.[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong bại liệt sản phẩm rất có thể là một trong những phân số rất có thể rút gọn gàng — trong cả Lúc cả nhị phân số ban sơ đều ở dạng chủ yếu tắc.[9][11]

Nghịch hòn đảo phép tắc nằm trong và phép tắc nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b mang trong mình một nghịch tặc hòn đảo phép tắc nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b đem nghịch tặc hòn đảo phép tắc nhân, thường hay gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc b/a, tùy thuộc vào lốt của a.[cần dẫn nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, cd không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b mang lại c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một số trong những vẹn toàn ko âm, thì

Kết trái ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: blame on là gì

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là bn/an nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là bn/an.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu biểu diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi màn biểu diễn số hữu tỉ theo gót hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ rất có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn không tồn tại ước thành phần nào là ngoài 2 và 5 thì phân số bại liệt ghi chép được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số đem khuôn số là không tồn tại ước thành phần nào là không giống 5 nên rất có thể ghi chép được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với khuôn dương và khuôn đem tối thiểu 1 ước thành phần không giống 2 và 5 thì phân số bại liệt ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số đem khuôn số là 7 nên được ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số đem khuôn số là 17 nên được ghi chép bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập màn biểu diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này rất có thể minh chứng được rằng ko vượt lên vượt |b|.

Một cơ hội tổng quát mắng, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau lốt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu biểu diễn vì thế liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là một trong những biểu thức ví dụ điển hình như

trong bại liệt an là những số vẹn toàn. Mọi số hữu tỉ a/b rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, tuy nhiên thông số an rất có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide mang lại (a, b).

Xây dựng luyện những số hữu tỉ kể từ luyện số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thiết bị thể hiện nay sự màn biểu diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên

Trong toán học tập văn minh, người tao thiết kế giao hội những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét luyện tích Decaters:

=

Trên bại liệt xác lập một mối quan hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a mang lại b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là luyện những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên luyện khái niệm những phép tắc toán:

Khi bại liệt nếu

thì ;
.

Do bại liệt những phép tắc toán bên trên rất có thể được fake quý phái trở thành những phép tắc toán bên trên luyện những lớp tương tự trình bày bên trên, tức là luyện .

Để coi là phần tử của tao nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số vẹn toàn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Minh họa về tính chất rất có thể điểm được của những số hữu tỷ dương

Tập phù hợp Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những phép tắc toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo nên trở thành một ngôi trường.[9]

Z không tồn tại phép tắc tự động đẳng cấu nào là ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường đem loại tự[11] không tồn tại ngôi trường con cái nào là không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường đem trật tự nhỏ nhất, theo gót tức là từng ngôi trường đem trật tự đều có một ngôi trường con cái độc nhất đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của giao hội những số vẹn toàn Q.[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.[cần dẫn nguồn]

Tập phù hợp toàn bộ những số hữu tỉ rất có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những lúc giao hội toàn bộ những số thực (cũng như giao hội những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, giao hội những số hữu tỉ là giao hội trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo gót nghĩa của chừng đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]

Số hữu tỷ là một trong những giao hội đem trật tự động trù mật: thân ái nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, đem một số trong những hữu tỷ không giống, và vì thế, đem vô số số hữu tỷ không giống thân ái bọn chúng.[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tao có

Bất kỳ giao hội đem trật tự trọn vẹn nào là rất có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 nào là là đẳng cấu trật tự với giao hội những số hữu tỉ.[14]

Với số thực và đặc điểm pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là một trong những luyện con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều sở hữu những số hữu tỉ ngay gần nó một cơ hội tùy ý.[9] Một đặc điểm tương quan là số hữu tỉ là số độc nhất đem không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ mang trong mình một cấu hình links trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng có thể có một cấu hình links không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo nên trở thành một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chênh chếch vô cùng d(x, y) = | xy |, và điều này tạo nên một cấu hình links loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu hình links trùng khớp và biến hóa những phù hợp trở thành một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là một trong những ví dụ cần thiết của một không khí ko cần là nhỏ và gọn toàn thể. Các phù hợp được đặc thù về mặt mày cấu hình links là không khí rất có thể điểm được độc nhất tuy nhiên không tồn tại điểm xa lánh. Không gian dối này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo nên trở thành một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là việc hoàn thành xong của Q theo gót metric d(x, y) = | xy | bên trên.[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được trình bày phía trên, đem những số liệu không giống biến hóa Q trở thành một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một số trong những thành phần và với từng số vẹn toàn không giống ko a, mang lại | a |p = pn, nhập bại liệt pn là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: drop dead gorgeous là gì

Ngoài rời khỏi tao đặt điều | 0 |p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tao đặt điều | a/b |p = | a |p/| b |p .

Khi bại liệt dp(x, y) = | xy |p xác lập một metric bên trên Q[15]

Không gian dối metric (Q, dp) ko hoàn hảo và phần hoàn thành xong của chính nó là ngôi trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường nào là bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vẹn toàn tố
  • Số nguyên
  • Số tự động nhiên
  • Số vô tỉ
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng bốn năm 2015.
  5. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  6. ^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  8. ^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  9. ^ a b c d e f g h i Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
  10. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn bạn dạng 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  11. ^ a b c d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  12. ^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  13. ^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
  14. ^ (Bản report kỹ thuật).
  15. ^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số hữu tỉ bên trên MathWorld.